Dr hab. Tadeusz Kosztołowicz, UJK

Dyfuzja anomalna definiowana jest zwykle jako proces błądzenia losowego cząsteczek, w którym średni kwadrat przemieszczenia cząsteczki – inaczej niż w przypadku dyfuzji normalnej – nie jest proporcjonalny do czasu. Dyfuzję taką można ogólnie podzielić na subdyfuzję, która jest znacznie wolniejsza od dyfuzji normalnej i zachodzi w ośrodkach, w których ruch cząsteczek jest szczególnie utrudniony (np. ośrodki porowate lub żele) oraz superdyfuzję, gdzie długie przeskoki cząsteczek mogą następować nadzwyczaj szybko, np. w ośrodkach turbulentnych. Dyfuzja anomalna jest jakościowo różna od dyfuzji normalnej, co ma swoje odbicie m.in. w jej interpretacji stochastycznej oraz w postaciach równań różniczkowych opisujących ten proces. Subdyfuzję można interpretować jako niemarkowowski proces, w którym średni czas oczekiwania na przeskok cząsteczki jest nieskończony, proces ten opisywany jest cząstkowym równaniem różniczkowym z pochodną czasową rzędu ułamkowego typu Riemanna-Liouville’a lub Caputo. Superdyfuzja jest z kolei procesem, w którym nieskończona jest wariancja długości przeskoku; proces ten jest zwykle opisywany cząstkowym równaniem różniczkowym z pochodną ułamkową Riesza względem zmiennych przestrzennych.
W czasie planowanej sesji skupimy się na procesie subdyfuzji. Była ona obserwowana w wielu procesach występujących w przyrodzie, takich jak rozwój próchnicy w szkliwie zęba, procesach korozji, transporcie substancji wewnątrz komórek biologicznych oraz w układach membranowych. Zastosowanie równań z pochodnymi ułamkowymi do modelowania takich procesów wymaga rozwiązania szeregu problemów związanych nie tylko z interpretacją oraz wybraniem odpowiedniego modelu stochastycznego opisującego przebieg badanego procesu, lecz również z rozwiązaniem problemów natury matematycznej, związanych z analitycznymi i numerycznymi procedurami rozwiązywania równań różniczkowych z pochodnymi ułamkowymi. Należy tutaj dodać, że pochodne ułamkowe są bardzo ciekawymi obiektami matematycznymi, mających wiele odmiennych własności w porównaniu z pochodnymi rzędu naturalnego.
Celem sesji będzie zapoznanie uczestników z:

• definicjami, interpretacjami oraz własnościami pochodnych ułamkowych,
• podstawowymi metodami rozwiązywania równań różniczkowych z pochodnymi ułamkowymi, w szczególności przy wykorzystaniu metody transformaty Laplace’a; rozwiązania będą najczęściej wyrażone poprzez liniowe kombinacje funkcji specjalnych Foxa oraz Mittag-Lefflera,
• układami nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych z pochodnymi ułamkowymi, stosowanych do opisu subdyfuzji w układach z reakcjami chemicznymi (na przykładzie transportu cząsteczek kwasów organicznych w ośrodku porowatym – szkliwie zęba i ich reakcji z minerałem, co prowadzi do rozwoju próchnicy),
• zastosowaniem liniowych „parabolicznych” oraz „hiperbolicznych” równań z pochodnymi ułamkowymi do opisu procesów transportu w układach membranowych,
• podstawowymi numerycznymi metodami rozwiązywania ułamkowych równań subdyfuzji.

Tytuł wykładu lidera:
Subdyfuzja w układach membranowych.